(一) 石英晶振监控膜厚的数学原理

　　(二) 单层膜的厚度理论计算及误差

　　(三) 两层及以上膜厚的理论计算

　　(四) 小结

(一) 石英晶振监控膜厚的数学原理

　　石英晶体振荡法监控膜厚，主要是利用了石英晶体的两个效应：压电效应和质量负荷效应。通过测定其固有谐振频率或与固有谐振频率有关的参量变化来监控沉积薄膜的厚度。其基本原理可以如下数学公式表示：

　　其中，ƒQ为石英晶体的固有谐振频率，dQ是晶体本身厚度。 νQ为石英晶体本身的切变速度;对于AT切割的石英晶体，这个值是3.336×10-3cm/s。

　　当晶体本身厚度有微小变化ΔdQ时，公式(1)可变化为：

　　即晶体本身厚度的微小变化，与晶体本身的谐振频率之间有着恒定的函数关系。如果这种厚度变化是外来薄膜引起的，那么外来薄膜的膜厚就会引起谐振频率的变化，从而为膜厚探测提供了理论基础。

(二) 单层膜的厚度理论计算及误差

　　如果在晶体上沉积了薄膜，石英晶体谐振腔内的声学波在膜层中也有传播，晶体片与膜层构成了一维声学复合谐振腔。石英晶体的谐振频率将由单一材料的振荡模式变成两种材料的混合振荡模式。

　　此时的模型可以用图1所示。

　　图1 声波垂直入射造成的单层膜混合谐振

　　其中的d表示厚度，ρ为密度，ν为切变速度。

　　单位面积的平面波声阻抗是Z=ρν。

　　材料本身的谐振频率ƒ=ν/(2d)。

　　在大部分情况下，ZQ ≠Z1 ≠ Z2 ，所以会在石英晶体内形成垂直于界面传播的平面波，在界面1处，透射波和反射波将会同时存在，从而形成驻波场。

　　此时，界面1处的输入阻抗：

　　其中:

　　声波在界面1的反射系数：

　　界面和晶体本身的切变模声阻抗之比，可简化表示为：

　　如果混合谐振的频率为ƒc，则频率变化可表示为：

　　如果假设：声波在真空中不传播， Z2=0，即在界面2是全反射;在膜层和晶体内传播无损耗。则可以推导得到薄膜厚度与谐振频率之间的关系：

　　此时的状态，实际是外加了电极层Au、Ag或Al的情况。

　　目前的晶控仪，若未特别申明，计算膜厚的基础都是此公式，或进一步变形后的公式：

　　这里的Z′是石英晶体与膜层的声阻抗比值。大部分膜厚仪里，都可以查询到这个值。对于个别查询不到的情况，一般用1代替。Z值会影响控制的膜厚误差。张子业博士曾经给出一个图，生动的显示了这种差异，见图2。

图2 声阻抗值对膜厚控制误差的影响

　　需要注意的是，依据公式(7)，膜厚与石英晶体谐振频率变化的关系并非严格的线性关系。频率变化越大，越偏离线性关系。

　　这意味着，随着沉积膜厚增加，实际的膜厚Tooling在逐渐变化;这种变化是由膜厚仪本身的算法引起的，无论你是否意识到，她一直都在伴随着你，不离不弃。如果是中远红外的超厚膜层镀膜，这种偏离可能会直接导致光谱报废。感兴趣的读者，可以自己推导下这种误差的数量级。

　　在更多层膜的场合下，为了得到最外层厚度，仪器需要分别测量并记录起始与终了时刻的频率。这里计算最外层厚度时假设所有已镀层材料的特性参数与最外层一致。对于光学薄膜应用中，这个假设通常不成立，因此原理上就存在一定的计算误差。

(三) 两层及以上膜厚的理论计算

　　按照严格的理论计算，对于两层膜的过程如下。

　　图3是两层膜的混合谐振示意图。第二层膜与第一层膜的材质不一样。

　　此时，界面2处的输入阻抗：

　　进而得到界面1的输入阻抗:

　　图3 声波垂直入射造成的两层膜混合谐振

　　同样如前文假设：声波在真空中不传播， Z3=0，即在界面3是全反射;在膜层和晶体内传播无损耗。把公式(8)代入公式(6)，可以推导得到薄膜厚度与谐振频率之间的关系：

　　两层膜的数学表达公式，虽然复杂了些，但大部分人还能忍受。

　　对于三层膜，可以采用同样的计算思路。先由界面3处的输入阻抗，得到界面2处的输入阻抗，最终得到界面1处的输入阻抗Z1Q。然后把Z1Q代入公式(6)，最终得到薄膜厚度与谐振频率之间的数学关系：

　　相对两层膜，三层膜公式的复杂程度已经让人摸不着头脑了。可以预见的是，对于四层或更多层，虽然膜厚的数学推导方法是明确的，但得到的公式将会更长。如果遵循严格的计算，膜厚仪的研发人员首先要被繁琐的数学计算给弄哭。

(四) 小结

　　晶振控制膜厚主要是利用了石英晶体的两个效应：压电效应和质量负荷效应。通过测定其固有谐振频率或与固有谐振频率有关的参量变化来监控沉积薄膜的厚度。

　　依据严格的数学计算，对石英晶体振荡法监控膜厚的方法过程进行了讲述。

　　由于数学计算的复杂性，当前主流的膜厚控制方法，都是采用单层膜理论近似取值的数学计算方法。这从根源上限制了膜厚仪的控制精度。

　　合理利用膜厚控制的数学原理，可以在一定程度改善膜厚误差，尽可能提升晶振片本身的使用寿命。考虑到当前主流晶振片探头的容量是6片，对于超厚膜层的镀膜，这种探索具有明显的应用前景。