上期对光学薄膜的常用光谱测量仪器进行了介绍。在光学薄膜的发展历史中，相对于测量仪器的欣欣向荣，由于计算的复杂性，膜系的实用优化计算起步较晚，自电脑之后才开始蓬勃发展。膜系的计算机辅助优化计算是一个新的里程碑，其优化的本质是根据多层膜的特征矩阵结合数学最优化方法得到距离目标光谱特性最近的设计结果。

本节主要介绍膜系设计软件TFCalc和Macleod中的典型优化计算方法，希望通过认识这些功能背后不同的数学计算方法，提升对薄膜优化计算的认识和使用技巧。

一、 薄膜优化计算的评价函数

对于给定的优化目标，软件中通常是依据下式来评价优化结果的。

其中m是优化目标的数量，P是给定初始膜系结构后计算的数值（关于透射率或反射率），PD是给定的优化目标。N × Tol是每个目标的加权因子，对应软件中的Tolerance，K对应软件中的Power，如下图所示。这两个值会直接影响最终优化的结果。

F是评价膜系优化过程中所寻求最小值。如果评价函数F = 0，则薄膜的性能与所期望达到的设计状态相同。但是，在大多数情况下，不可能找到评价函数F = 0的设计，即对任意的多层薄膜得到的优化值都是一个近似值，并非完全最优解，所以我们给定评价函数F一个容许值，同时要限制迭代次数，其设置见上图中的Error Tolerance和Max.Iterations。

二、 局部最优设计和全局最优薄膜设计

首先我们先认识一下局部最优值和全局最优值的概念，下图中等高线的表示优化算法的评价函数值F，x所在圆圈代表函数极小值，一般我们的评价函数都是具有多峰结构的，存在多个局部极值，如图（1）所示。而全局优化属于存在多个局部最优解，但是通过隧道贯穿的方法，比较存在的极小值，然后得到一个全局的小值，如图（2）所示。不同优化计算方法会得到不同的优解。

三、 薄膜优化计算方法介绍

TFC中的三种优化方式分别为梯度优化（Gradient）、单纯形优化（Simplex）和变尺度法（Variable Metric），这三种优化方式都属于局部优化的范畴。Macleod 相比TFC拥有更强大的优化功能和计算能力，其总共有六种优化方式，分别是单纯形优化（Simplex），光学优化算法（Optimac），模拟退火法（Simulated Annealing），共轭梯度优化（Conjugate Gradient）和拟牛顿法（Quasi-Newto），以及两种软件共有的全局优化方式针插法（Needle Synthesis）。

我们打算介绍几种典型优化方式的计算过程，然后用针形法优化来来给出实例。

（1）单纯形优化

单纯形法作为一种经典的优化方式，在数学优化领域中常用线性规划问题的数值求解。它的基本思想是：采取逐步接近最优解的办法，先求出一个可行解但它未必是优解，然后逐步改善可行解，使目标逐步增大（或减小），直到函数目标达到时，该问题就得到了最优解，或判无优解。其逻辑运算图如下：

由上可以看出，当K=1时（Power选项为1），单纯形法回归为最基本的线性方程组求解问题。单纯形法是TFC和Macleod共有的一种典型的优化方式，算法简单，运算速度较快，但是在处理多层膜时，得到的优化结果不理想，容易陷入局部很小值，因此单纯形法比较适合于膜层较少时的情况。

（2）共轭梯度法

共轭梯度法（Conjugate Gradient）是介于最速下降法（TFC中第一个优化方式：梯度优化）与牛顿法（Macleod中第五个优化方式拟牛顿法的来源）之间的一个方法，它仅需利用一阶导数信息(因此要求K≥2，即Power选项中必须不小于2)，但克服了最速下降法收敛慢的缺点，又避免了牛顿法需要存储和计算海森矩阵并求逆的缺点，共轭梯度法不仅是解决大型线性方程组有用的方法之一，也是求解大型非线性最优化有效的算法之一。

它的基本思想是：把共轭性与快速下降方法相结合，利用已知点处的梯度构造一组共轭方向，并沿此组方向进行搜索求出目标函数的小值点。与梯度法搜索最优解的路径图如下所示（红色表示共轭梯度法，绿色表示梯度法）。很明显，同样条件下，共轭梯度法计算更快。

共轭梯度法与梯度法搜索路径图示

在各种优化算法中，共轭梯度法是非常重要的一种，其优点是所需存储量小，具有步收敛性，稳定性高，而且不需要任何外来参数。

（3）拟牛顿法

牛顿法是基于函数二阶微分收敛(因此K不能等于1)，收敛速度快，但牛顿作为一种迭代算法每一步都需要求解目标函数的海森矩阵，计算繁琐，这在薄膜优化中在膜层较多的时候，海森矩阵求逆矩阵计算量太大，导致效率过低，拟牛顿法的出现解决了这个问题。

它的本质思想是改善牛顿法每次需要求解复杂的海森矩阵的逆矩阵的缺陷，它使用正定矩阵来近似海森矩阵的逆矩阵，从而简化了运算的复杂度，具体优化步骤如下（对具体算法不感兴趣的读者，可忽略这部分内容）：

拟牛顿法和梯度法（TFC第一种优化方式）一样只要求每一步迭代时知道目标函数的梯度。通过测量梯度的变化，构造一个目标函数的模型使之足以产生超线性收敛性。这类方法大大优于梯度法，尤其对于困难的问题。另外，因为拟牛顿法不需要二阶导数的信息，所以有时比牛顿法更为有效。变尺度法（Variable Metric）是综合了以上两种方法的优点发展出来的；处理复杂光谱设计时，计算速度和效果相对更好，但同时也意味着对初始结构具有更大的该变量。

（4）针形法（针插法）

针形法不同于其他优化算法，它是专门针对光学薄膜优化设计而提出的一种优化技术，针形法其基本思想是在原有折射率分布中通过不断插入较薄膜层，从而引起折射率分布微小变化。针形法计算优化步骤如下（对具体算法不感兴趣的读者，可忽略这部分内容）：

（1）设定插入参数；

（2）计算每点的等效导纳值和P函数，从而找到最佳插入点插入一薄层；

（3）用局部优化的方法寻找局部最小；

（4）如果膜系总厚度大于预先给定的值，优化终止，否则转（5）；

（5）经过（2），（3）如果膜系评价函数减小则转（2），否则转（6）；

（6）轮流增加每层的厚度寻找下一个极小点dl，找到评价函数最小的dl，取此结构；

（7）返回步骤（2）；

针形法作为优化方式的时候大的优点是对初始膜系结构的依赖性和要求很低，只要给定一个优化目标就能得到理想的设计。需要注意的是，初始结构会影响最后得到的结果。

除此以上四种优化方式之外，用于薄膜优化的算法还有模拟退火法，遗传算法，混合优化算法等（结合模拟退火法和共轭梯度优化算法等）。各种数值算法在光学膜系设计中得到了广泛的应用,且都有一定的优点,如单纯形法算法简单,程序上易于实现，模拟退火法、遗传算法具有全局优化的能力， 遗传算法具有能自动获取和指导优化的搜索空间，自适应地调整搜索方向，不需要确定的规则。针形法可以从单层膜进行优化，降低了设计难度和专业性等。但各种方法都存在着一定的缺点和不足。如单纯型法、共轭梯度法等方法是一种局部优化方法，最终膜系光谱性能的好坏，很大程度上取决于膜系初始结构的构造；模拟退火法退火过程的次数不易控制等缺点。针形法也存在易陷入局部极值等不足，得到的膜系存在较多薄层导致具体生产不易控制等等。

综上所述，对于想更进一步的薄膜设计人员而言，很有必要了解各种优化方法的优缺点和适用条件。在膜系优化中，选择恰当的时机，人为中止当前算法，换用另外一种或多种优化算法，可以得到更加理想的膜系；限于篇幅，这里不再展开讲述。

四、针形法优化薄膜示例

由于需要设计的膜系日趋复杂,很难提出其初始结构，因此膜系设计必将向自动优化设计方向发展，传统优化方法仅能优化膜层厚度和折射率，而总膜层数得不到优化，真正的优化设计应该是三者共同参与优化。

下面我们以针形法为例，对膜系设计进行简单演示。以BK7为基底，设定目标： R= 0％@400-750nm。高折射率材料H用Ta2O5，低折射率材料L用SiO2。参考波长550nm。

初始结构分别是2L和10H，在同样优化算法下，得到如下图所示结果。灰色曲线的初始结构为2L，优化计算结果为9层膜，第一层为L，总厚度425nm；黑色曲线的初始结构为10H，优化计算结果16层膜，第一层为H，总厚度995nm；只从光谱看，10H初始的结果更好。

在这个例子中隐含了优化算法的2个技巧。1、针插法的初始厚度必须满足一定的厚度。一般认为接近于最佳设计厚度比较好，这个需要借助于经验或者多尝试几次。2、16层薄膜的波纹较多，意味着设计中存在着较多的极薄层或极厚层，不利于实际制备，还需要借助梯度法等进行再次优化计算。

实际上，对于常规宽带增透膜，针插法就是鸡肋。增透膜也存在着循环的初始膜堆，其功效类似（HL）^N在高反膜设计中的作用，关于这个问题，后续会有专题讲述，敬请期待。